Livstidssannsynlighet for gevinst i Lotto / Vikinglotto, Hvor sannsynlig er det å vinne i løpet av 30 år? Valg

[Skeptikos]

Jeg håper det er noen som er gode å regner der ute som kan hjelpe meg med denne mattematiske problemstillingen.

Grunnproblemstillingen min er som følger:

Hvis man tipper 10 rekker Vikinglotto i uken og 10 rekker Lotto i uken fra man f.eks. er 30 til man er 60 år gammel. Hva er sannsynligheten for at man da har fått toppgevinst i en av disse lotteriene i løpet av disse tredve årene?

Sannsynligheten for å vinne i Vikinglotto er vel 1 : 12.271.512 med en rekker, noe som da vel blir 1 : 1.227.151 ved 10 rekker.

Sannsynligheten for å vinne i Lotto er vel 1 : 5.379.616 med en rekke, noe som da blir 1 : 537.961 ved 10 rekker.

Det jeg antar er at man ikke bare kan gange opp 10 rekker, med 52 uker med 30 år og sette dette øverst i beregningen for å finne ut sannsynligheten, da ville jo sannsynligheten være følgende ved de to:

(10*52*30=15600)

Vikinglotto 15600 : 12.271.512 dvs 1 : 786
Lotto 15600 : 5.379.616 dvs 1: 345

Jeg antar at det er dette som er min hovedfeil i beregningen. Det er jo slik at hvis man tipper alle tenkelige rekker i en runde, så er man garantert toppgevinst, men hvis man fordeler det over flere trekninger så vil sannsynligheten bli høy, men ikke 100%. Jeg antar da at dette tallet er feil, og det er i hovedsak her jeg stusser på hvordan man skal beregne det hele. Hvis tallene hadde vært riktig ville vel svaret på hovedspørsmålet være:

1:786 + 1:345 = (345+786):(786*345) = 1131:271170 = 1:240

Altså 1 : 240 sannsynlighet for å vinne toppremie i et av lotteriene!

Da jeg antar beregningsgrunnlaget her er feil, er nok beklageligvis resultatet trolig også feil. Jeg har dog gnaget en god stund på disse sannsynlighetene, og ikke helt kommet frem til hvordan det skal gjøres for å få det riktige resultatet.

Et underspørsmål er jo da også hva ut av de 15600*2*4 = 124 800 kr dette har kostet totalt (med dagens rekkepris) fratrukket alle små og mellomstore premier, hva kunne man forventet å ha som netto tap i løpet av disse årene (da ut fra gjennomsnittlige gevinster)?

Grunnen til at jeg spør er at jeg grubler på dette en del er jo at det til tross for at det hevdes at sannsynligheten for å vinne er svært liten, så er det jo tross alt over 50 hvert år som vinner (hvis jeg forstår det riktig). Å si at sannsynligheten er 1 : 5 mil eller 12 mil er jo sterkt missvisende da dette er for en rekke en gang i livet. Det jeg funderer på er jo hvor missvisende er det. Kjenner tross alt til to personer som har vunnet (om ikke spesielt nærstående personer - desverre).

Kan noen hos dere hjelpe meg å knekke denne sannsynlighetsberegningen, da for å få den riktig?

Mvh,

Skeptikos

[envolk]

1-((1-10/12271512)*(1-10/5379616))^(52*30) = cirka 1/240

[Skeptikos]

Hei "envolk"

Tar virkelig din formel hensyn til at det ikke er samme trekkning? Jeg vet ikke om dette er en stor eller helt marginal effekt, men greit å ta med. Vet dog selv ikke hvordan jeg da skulle regne dette.

For å illustrere, kaster man krone/mynt to ganger, og man har satset på å få mynt, er det bare 75% sannsynlighet for at man får rett på to kast. Satser man på begge i et kast, kan man jo ikke tape.

På samme måte satser man for halvparten av rekkene i lotto to uker etterhverandre, så har man vel fremdeles bare 75% sannsynlighet for å vinne, ikke 100% som det ville være hvis alle rekkene ble levert samme uke!

Vet ikke helt om jeg regner riktig på dette, men hadde vært fint med noen med bedre kunnskap om slike sannsynlighetsberegninger enn meg kunne finne svaret!

[envolk]

Ja det gjør den. Det er sannsynligheten for å vinne toppgevinst minst 1 gang.

[bjorn]

Men det er vel en ny trekning hver gang, med like liten sannsynlighet for å vinne som alle de foregående trekningene?

Basert på følgende kommentar på kudos:

Det som har blitt glemt er at trekningen skjer under et kaotisk system, og er dermed helt tilfeldig. På grunn av denne kaosismen så vil man også starte fra begynnelsen av ved hver trekning. Så hvis man spiller én rekke hver uke vil sannsynligheten alltid være den samme: 1:5.379.616. Hvis du vil være sikker på å vinne må du spille alle mulige rekkekombinasjoner for en trekning. Men dette vil ikke garantere at du vil være den eneste vinneren ved trekningen. Selv spiller jeg ikke lotto. Jeg vil absolutt anbefale å lese mer om den matematiske kaosteorien.

- bjorn

[astroleif]

Men bjørn: man øker jo faktisk sjansene når man tipper 2 rekker i stede for 1. Det er akkurat det samme som skjer når man tipper 1 rekke på 2 trekninger.
Å tippe 10 rekker hver uke over 30 år er det samme som å tippe 15600 rekker på en og samme trekning. Det sier seg selv at sjansene for å vinne da ikke lenger er; 1: 5.379.616 Men 15600: 5.379.616 -betydelig bedre odds.
Denne "nullstillingen" som skjer ved ny trekning overføres jo bare til at alle rekker i utgangspunktet har samme sjanse for å bli riktig -under samme trekning! Hadde det vært slik du sier så ville man jo aldri kunne øket sjansen for å vinne, og hvordan skulle det da bli mulig å garantere seg 7 rette ved å tippe alle mulige kombinasjoner? Det blir jo paradoksalt....

[Chub]

Men bjørn: man øker jo faktisk sjansene når man tipper 2 rekker i stede for 1. Det er akkurat det samme som skjer når man tipper 1 rekke på 2 trekninger.

Du øker sjansen for å vinne i begge tilfeller, men ikke med like mye. La oss kalle sannsynligheten for å vinne topppremie med en rekke for p.
Tipper du 2 rekker en uke, blir sannsynligheten for å vinne 2p, dersom det du sier stemmer, burde sannsynligheten for å vinne dersom du tipper 1 rekke i 2 uker, bli akkurat det samme.

P(vinner minst 1 gang når man tipper 1 rekk i 2 uker) = 1 - P(ikke vinne noen ting)
= 1 - P(ikke vinne 1. uke)*P(ikke vinne 2. uke)
= 1 - (1-p)*(1-p) = 2p - p^2

Selv om leddet p^2 er svært lite, blir det større om du tipper flere rekker pr. uke.
Om du tipper alle rekkene 1 uke, er du garantert å vinne, men om du tipper 50% av rekkene 2 uker på rad, er det ikke lenger sikkert at du vinner. Innsatt i formelen, med p=0.5, vinner du minst en gang 75% av tilfellene, som stemmer med intuisjonen.

EDIT:
Forøvrig samme fremgangsmåte som envolk brukte for sin formel i første innlegg. Logikken er at alle trekninger er helt uavhenigige, og alle rekker har like stor sannsynlighet for å vinne. Da kan man bruke det man kaller multiplikasjonsprinsippet i statistikken.

[astroleif]

Det er vel sant, Chub. Jeg er hverken matematiker eller spesielt god analytiker. Men slik jeg ser det er eneste "negative" faktor med flere trekninger at samme rekke kan trekkes flere ganger. Dersom dette ikke ville skje så ville 5.379.616 trekninger gjøre samme nytte som 5.379.616 rekker på èn trekning. -Eller??

[Skeptikos]

Selv om leddet p^2 er svært lite, blir det større om du tipper flere rekker pr. uke.
Om du tipper alle rekkene 1 uke, er du garantert å vinne, men om du tipper 50% av rekkene 2 uker på rad, er det ikke lenger sikkert at du vinner. Innsatt i formelen, med p=0.5, vinner du minst en gang 75% av tilfellene, som stemmer med intuisjonen.

Til hvilken grad ville denne p^2 påvirke sannsynligheten i regnestykket jeg har satt opp? Er faktoren så stor at man snakker om en halvering eller mer av 1:240? Hadde vært artig å vite, hvis noen vet hvordan man skulle regne ut dette.

[Chub]

Det er vel sant, Chub. Jeg er hverken matematiker eller spesielt god analytiker. Men slik jeg ser det er eneste "negative" faktor med flere trekninger at samme rekke kan trekkes flere ganger. Dersom dette ikke ville skje så ville 5.379.616 trekninger gjøre samme nytte som 5.379.616 rekker på èn trekning. -Eller??

Det som utgjør forskjellen mellom å satse på 5.379.616 rekker i en uke, eller å satse på 1 rekke i 5.379.616 uker (nå er vi veldig hypotetiske her ), er to ting. Som du sier, at du i siste tilfelle kan trekke samme rekken mange ganger, men også det at du kan risikere rekken din aldri blir trukken. Begge effektene vil faktisk kanselere hverandre ut. I statistikk har man noe som heter forventningsverdi, det er det man gjennomsnittlig forventer å stå igjen med etter ett forsøk. Tipper man alle rekkene, har man bare ett utfall, du vinner 1. premien (antar du enten vinner eller taper). Tipper du en rekke i 5.379.616 uker, blir faktisk forventningsverdien akkurat den samme.
Så hva utgjør forskjellen? Variansen, spredningen, er forskjellig, i 1. tilfelle har du 0 varians, mens i 2. tilfelle har du langt større varians siden du kan både vinne mye og ingenting.

Til hvilken grad ville denne p^2 påvirke sannsynligheten i regnestykket jeg har satt opp? Er faktoren så stor at man snakker om en halvering eller mer av 1:240? Hadde vært artig å vite, hvis noen vet hvordan man skulle regne ut dette.

I åpningsinnlegget bruker du egentlig feil tankemåte i kalkuleringen av vinnersannsynligheten når du tipper i 30*52 uker, men feilen du gjør er faktisk så liten at svaret ditt blir nesten riktig likevel. Det er nettopp fordi det p^2-leddet blir svært lite i dette tilfellet.
Sannsynligheten for å vinne 1. premie i lotto når du tipper 10 rekker hver uke over 30 år er:
2.89564 *10^-3,
mens ved din tilnærming blir dette:
2.89998 *10^-3.
Så sannsynlighetene dine for å vinne er tilnærmet riktige, videre for å regne ut totalsannsynligheten gjør du enda en feil, som igjen faktisk ikke er så ille. Du sier:
P(Vinne i enten lotto eller vikinglotto) = P(vinne i lotto) + P(vinne i vikinglotto).
Det er lett å tenke slik, men det blir nok feil, hva som det er over 50% sjanse å vinne i hver av lotteriene, har du over 100% sjanse for å vinne da? Riktige tankemåte blir:
P(Vinne i minst 1 av lotteriene) = 1 - P(Ikke vinne i noen lotterier)
= 1 - P(Ikke vinne i lotto)*P(Ikke vinne i vikinglotto)
= 1 - (1 - P(Vinne i lotto))*(1 - P(Vinne i vikinglotto))
= P(Vinne i lotto) + P(Vinne i vikinglotto) - P(Vinne i lotto)*P(Vinne i vikinglotto).
Igjen får du et siste kvadratisk ledd, som man kan se bort i fra for små sannsynligheter.
Det riktige svaret blir:
P(vinne i minst 1 av lotteriene) = 4.1624*10^-3, som er tilnærmet lik 1/240.
Så alt i alt, selv om du har tenkt feil 2 ganger, kommer du trygt i havn med så godt som riktig svar fordi sannsynlighetene for å vinne er så små. Logikken seirer.

[Skeptikos]

Det riktige svaret blir:
P(vinne i minst 1 av lotteriene) = 4.1624*10^-3, som er tilnærmet lik 1/240.
Så alt i alt, selv om du har tenkt feil 2 ganger, kommer du trygt i havn med så godt som riktig svar fordi sannsynlighetene for å vinne er så små. Logikken seirer.

Av og til blir to minus ett pluss

Det er jo litt artig dette hele. Selv om sannsynligheten da er liten, så er den jo ikke en til 12 eller 5 mil som man hele tiden for høre. Dette er bare på enkeltrekkenivå den ene gangen. Så å påstå til en person at han/hun bare har 1 til 12 millioner sannsynlighet for å vinne i vikinglotto er en sannhet med store modifikasjoner.

I en tradisjonell rasjonalitets vurdering vil det jo allikevel ikke være fornuftig å sette penger i lotto, da 50% av pengene forsvinner der til andre formål enn premier. Man kan i så måte at på befolkningsnivå er gir du vekk førti kroner for å få tyve, så spillteoretisk ikke et spesielt klokt valg. Denne typen rasjonalitet defineres enkelte steder som en prosess rasjonalitet, eller algorytmisk rasjonalitet. Aksepterer man denne, som de fleste som er svært avvisende til lotto o.l. må man dog også nesten akseptere at denne 50% ikke er en stabil faktor da denne avgjøres av hvor mye penger som er satt inn og hvor mye som er fordelt på premiepottene. Ved jackpot eller, 2/3xJackpot vil det totalte investerte beløp fra alle tippere sannsynlig være mindre enn 50% av premiene som står til utbetaling. Man kunne da tenke at det er litt mer rasjonelt å tippe ved høye jackpotter. Da hver ny runde kan gi en ny jackpot, ergo en lavere utbetaling en 50%, kan da også tapet overordnet sett bli større. Disse effektene vil jo på sikt kanselere hverandre. Litt interessant er det da at man sist uke ad hoc kunne si at man ville gå ut med 20+ milioner i overskudd hvis man kjøpte alle mulige rekker i Vikinglotto (jackpot og lykketallpot - lykketal som da ble trukket - stod til 72 mil, mens alle rekkene hadde kostet ca 50 mil). Kun ad hoc naturligvis, da man ikke kunne vite at man ville være den eneste vinner, og ikke vite at lykketallet ble trukket!

Det er dog også et annet syn på rasjonalitiet så tidvis kalles målrasjonalitet, da det som på en mer heuristisk måte fører deg nærmere dine mål. Målet vil jo kanskje overordnet sett være å være lykkelig å ha håp om fremtiden. Noen klarer dette ved å håpe og drømme om en gevinst UTEN å tippe (da snakket man i alle tilfelle om mindre enn 1:12 mil vinnermulighet!). Andre mener det å tippe f.eks. som fremstilt her som noe som er tilstrekkelig til å holde håpet oppe, uten at det koster skjorta. Vel - det koster jo 128 store (uten gevinstene), men det er vel for de fleste forskjellen på å ha matpakke med 2 ganger i uken på jobb i steden for å kjøpe lunch tli 40 kr! Et målrasjonalitets syn tillater så å definere moderat tipping til som rasjonelt. Stortipping vil dog ikke bli rasjonelt uanset, da det vil (med mindre en skulle være veldig heldig) føre til negativ påvirkning av de overordnede mål tidligere nevnt.

Tenker på en måte at lotto / vikinglotto i alle fall er åpne for innsyn i forhold til sannsynlighet i forhold til gevinst, noe andre invvesteringer ikke nødvendigvis er. Kjenner jo til folk som har tapt stort på aksjemarkede i senere tid, noe de til stor grad kunne unngått hvis de ikke hadde en urealistisk tro på at man der kunne tjene tilbake aktuelle tap ved å investere litt anderledes. Problemet her er at summene som investeres er betydelig høyere (en den beskjedne tipper), og man hele tiden kan få noen fikse ideer om hvordan man skal ordne alt opp. Noen tippere tror jo også på systemer som skal gi dem store gevinster, kanskje førstenvte da kan være marginalt mer rasjonelt... Flere har da tapt 2-4 ganger mer i løpet av ett år enn en som spiller etter overordnede modell sannsynlig vil gjøre på et liv (kan naturligvis vinne disse tilbake på aksjemarkedet). Likevel ingen tvil dog om at aksjemarkedet på sikt er en bedre plass for alle summer så overgår en lunch eller to.